حل کاردرکلاس صفحه 55 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 55 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین مجموعه‌ای از حالت‌های مختلف محاسبه‌ی **ریشه‌های $n$اُم** است. نکته‌ی کلیدی، توجه به **فرد یا زوج بودن فرجه** و **علامت زیر رادیکال** است. ### **قواعد کلیدی** 1. **فرجه زوج:** ریشه‌ی یک عدد **منفی** (مانند $\sqrt{-1}$) در اعداد حقیقی **تعریف نشده** است. 2. **فرجه فرد:** ریشه‌ی یک عدد **منفی** (مانند $\sqrt[3]{-8}$) **منفی** است. 3. **ریشه‌ی صفر:** ریشه‌ی هر درجه‌ای از صفر، صفر است: $\sqrt[n]{0} = 0$. --- ### **محاسبات گام به گام** 1. **$$\mathbf{\sqrt[4]{1296}}$$** * چون $6^4 = 1296$. ریشه‌ی اصلی (مثبت) را می‌نویسیم. * **حاصل:** $\mathbf{6}$ 2. **$$\mathbf{\sqrt[3]{\sqrt{256}}}$$** * ابتدا ریشه‌ی داخلی را حساب می‌کنیم: $\sqrt{256} = 16$ (چون $16^2 = 256$) * سپس ریشه‌ی خارجی: $\sqrt[3]{16}$ * **حاصل:** $\mathbf{2\sqrt[3]{2}}$ (یا $\mathbf{\approx 2.52}$) * **توجه:** اگر فرض بر ساده‌ترین پاسخ کسری یا صحیح باشد: $\sqrt[3]{\sqrt{256}} = \sqrt[6]{256} = \sqrt[6]{2^8} = 2^{8/6} = 2^{4/3} = 2\sqrt[3]{2}$. اما اگر سوال ریشه‌ی کامل می‌خواهد: $\sqrt[3]{16}$ 3. **$$\mathbf{\sqrt[5]{-1}}$$** * فرجه $5$ (فرد) است. ریشه‌ی فرد یک عدد منفی، منفی است. * **حاصل:** $\mathbf{-1}$ 4. **$$\mathbf{\sqrt[3]{-64}}$$** * فرجه $3$ (فرد) است. $\sqrt[3]{64} = 4$. * **حاصل:** $\mathbf{-4}$ 5. **$$\mathbf{-\sqrt[4]{0.0016}}$$** * ابتدا زیر رادیکال را به کسر تبدیل می‌کنیم: $\frac{16}{10000}$ * $$-\sqrt[4]{\frac{16}{10000}} = -\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{10000}} = -\frac{2}{10}$$ * **حاصل:** $\mathbf{-0.2}$ (یا $-\frac{1}{5}$) 6. **$$\mathbf{\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}}$$** * فرجه $5$ (فرد) است. $\sqrt[5]{1}=1$ و $\sqrt[5]{32}=2$. * **حاصل:** $\mathbf{-\frac{1}{2}}$ 7. **$$\mathbf{\sqrt{-125}}$$** * **توجه:** این ریشه‌ی **دوم** است (فرجه زوج). زیر رادیکال منفی است. * **حاصل:** $\mathbf{\text{تعریف نشده (در } \mathbb{R} \text{)}}$ 8. **$$\mathbf{\sqrt[6]{0}}$$** * ریشه‌ی هر درجه‌ای از صفر، صفر است. * **حاصل:** $\mathbf{0}$ | عبارت | پاسخ نهایی | دلیل | | :---: | :---: | :---: | | $\sqrt[4]{1296}$ | $\mathbf{6}$ | $6^4 = 1296$ | | $\sqrt[3]{\sqrt{256}}$ | $\mathbf{\sqrt[3]{16}}$ | $\sqrt[3]{16}$ (ساده‌شده: $2\sqrt[3]{2}$) | | $\sqrt[5]{-1}$ | $\mathbf{-1}$ | $(-1)^5 = -1$ | | $\sqrt[3]{-64}$ | $\mathbf{-4}$ | $(-4)^3 = -64$ | | $-\sqrt[4]{0.0016}$ | $\mathbf{-0.2}$ | $-\sqrt[4]{16/10000} = -2/10$ | | $\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$ | $\mathbf{-\frac{1}{2}}$ | $\sqrt[5]{-1}=-1, \sqrt[5]{32}=2$ | | $\sqrt{-125}$ | $\mathbf{\text{تعریف نشده}}$ | فرجه زوج و زیر رادیکال منفی است. | | $\sqrt[6]{0}$ | $\mathbf{0}$ | ریشه‌ی $n$اُم صفر، صفر است. |